$g(x) = x^{3} - 3x$ द्वारा दिए गए फलन के लिए स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(A) दिया गया फलन: $g(x) = x^{3} - 3x$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $g'(x) = 3x^{2} - 3$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$g'(x) = 0$ रखें:
$3x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow 3(x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $g''(x) = 6x$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करें:
$x = 1$ के लिए: $g''(1) = 6(1) = 6 > 0$. चूँकि $g''(1) > 0$,इसलिए $x = 1$ स्थानीय निम्नतम का बिंदु है।
स्थानीय निम्नतम मान $g(1) = (1)^{3} - 3(1) = 1 - 3 = -2$ है।
$x = -1$ के लिए: $g''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. चूँकि $g''(-1) < 0$,इसलिए $x = -1$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $g(-1) = (-1)^{3} - 3(-1) = -1 + 3 = 2$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $g'(x) = 3x^{2} - 3$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$g'(x) = 0$ रखें:
$3x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow 3(x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $g''(x) = 6x$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करें:
$x = 1$ के लिए: $g''(1) = 6(1) = 6 > 0$. चूँकि $g''(1) > 0$,इसलिए $x = 1$ स्थानीय निम्नतम का बिंदु है।
स्थानीय निम्नतम मान $g(1) = (1)^{3} - 3(1) = 1 - 3 = -2$ है।
$x = -1$ के लिए: $g''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. चूँकि $g''(-1) < 0$,इसलिए $x = -1$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $g(-1) = (-1)^{3} - 3(-1) = -1 + 3 = 2$ है।
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$(A)$ $g(x)$ का न्यूनतम मान $2^{7/6}$ है
$(B)$ $g(x)$ का अधिकतम मान $1 + 2^{1/3}$ है
$(C)$ फलन $g(x)$ एक से अधिक बिंदुओं पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है
$(D)$ फलन $g(x)$ एक से अधिक बिंदुओं पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है
$(A)$ $g(x)$ का न्यूनतम मान $2^{7/6}$ है
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$(C)$ फलन $g(x)$ एक से अधिक बिंदुओं पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है
$(D)$ फलन $g(x)$ एक से अधिक बिंदुओं पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है
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